ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ БЕСЦЕНТРОВОГО ИЗМЕРЕНИЯ ОТКЛОНЕНИЯ ОТ КРУГЛОСТИ

Представлена математическая модель бесцентрового измерения отклонения от круглости, на основе которой дана оценка погрешности измерения, в том числе статистическим методом.

Метод бесцентрового измерения применяется при массовом контроле отклонения от круглости деталей в цеховых условиях [1]. Приборы для бесцентрового измерения в основном представляют собой различные комбинации призм и датчиков малых линейных перемещений. Также применяют накладные седлообразные приборы типа &наездник» для контроля труднодоступных профилей крупногабаритных деталей, например входных кромок турбинных лопаток [2]. Указанные приборы имеют простую конструкцию, высокую надёжность и малые габариты. Недостаток, препятствующий дальнейшему внедрению бесцентрового измерения , заключается в наличии методической погрешности измерения , составляющей от 20 до 100 % по различным данным [1-3]. Отсутствие математической модели измерения с достаточной степенью адекватности и как следствие возможности оценки погрешности и её минимизации затрудняют использование бесцентрового измерения отклонения от круглости при контроле высокоточных деталей.

Ниже представлена математическая модель, позволяющая моделировать процесс бесцентрового измерения деталей с профилями поперечного сечения , описанными тригонометрическими полиномами [4]. В результате получены уточнённые данные о погрешности измерения и влиянии на неё различных факторов.

Особенность бесцентрового измерения состоит в том, что показания прибора Ап связаны со значением фактического отклонения от круглости А уравнением Ап = цА, где ц = f (а, в, n) — коэффициент воспроизведения; а — угол призмы; в — угол, определяющий положение датчика; n — номер гармоники. В процессе измерения деталь базируется по граня м призмы непосредственно измеряемой поверхностью. Поэтому погрешность установки приводит к изменению положения центра профиля (оси) детали и соответственно расстояния до измерительного датчика. Эти изменения прибор воспринимает так же, как и отклонения формы поверхности. Конкретный прибор с фиксированными значения ми углов а и в имеет различные коэффициенты воспроизведения для разных гармонических составляющих профиля детали. Поскольку профиль детали описывается суперпозицией гармоник с различными амплитудами и начальными фазами, то установление коэффициента ц — сложная математическая задача.
Математическое описание процесса измерения рассматривается в три этапа [5]: нахождение центра средней окружности профиля детали после установки (для каждого текущего положения), определение радиусов измеренных датчиком точек профиля, расчёт отклонения от круглости по измеренным точкам.

Поперечный профиль детали в полярной системе координат
на16
Рис. 1. Расчётная схема бесцентрового измерения

где R — радиус средней окружности; an, фn — амплитуда и начальная фаза n-й гармоники; р — наибольшее число гармоник; ф — полярный угол.

На первом этапе определяем погрешность установки, которая представляет собой отклонение фактически достигнутого положения детали от положения номинально цилиндрической детали радиуса R (без отклонений формы). При этом в поперечном сечении детали требуемое положение её центра (точка 0) определено радиусом R и углом призмы а (рис. 1).

Уравнение прямолинейной грани призмы в полярной системе координат:
на18

Контакт детали с гранями призмы происходит в точках на профиле, которые наиболее близко расположены к плоскостям призмы. Установим зазор А’ и полярный угол у между гранью и деталью в исходном положении:
на19

Считаем, что деталь одновременно и постоянно находится в точечном контакте с обеими граня ми призмы. Поэтому при отклонении формы в точках контакта деталь смещается по направлениям углов Y1 и Y2, а фактическое смещение происходит вдоль граней призмы. Таким образом, деталь последовательно перемещается по граням призмы на величины А1 и А2, которые представляют собой проекции А’ и А2 :
на20

На втором этапе определим радиус r1 измеренных точек профиля детали после базирования . Исходными данными являются координаты (A, v) центра средней окружности профиля и радиусы r точек профиля детали. Для определения зависимости между радиус-векторами и r целесообразно воспользоваться численным методом. Так как измерительный датчик может перемещаться только вдоль прямой, заданной углом в, то он регистрирует точку, наиболее близко расположенную к данной прямой. Поэтому задача сводится к поиску точки профиля, имеющей кратчайшее расстояние d до прямой перемещения датчика:
на21

В результате расчётов по формулам (1)—(6) получим измеренный профиль в декартовой системе координат. Преобразуя координаты из декартовой в полярную систему, получим искомую круглограмму.
На третьем этапе определяют отклонение от круглости — максимальное расстояние от точек профиля до средней окружности. Если центр средней окружности круглограммы совпадает с началом системы координат, то отклонение от круглости — это разность максимального и минимального радиусов. В противном случае требует- с дополнительно определить координаты центра средней окружности, а затем — отклонение от круглости [4].

Изложенная методика моделирования бесцентрового измерения отклонения от круглости реализована в виде программы на языке C++ (рис. 2).

на22

Рис. 2. Меоделирование бесцентрового измерения

Проведено сравнение результатов расчёта по разработанной математической модели с данными работы [2] для первых 12 гармоник прибором с параметрами а = 90° и в = 7,5°. Анализ показал, что расхождение результатов в среднем составляет
5%. Погрешность модели [2] объясняется допущением, что точки контакта всегда находятся на перпендикулярах к соответствующим гран м призмы, проведённых через центр средней окружности профиля в исходном положении. Такая постановка задачи позволила получить формулы дл коэффициента воспроизведения в явном виде, но без учёта влияния радиуса средней окружности измеряемой детали. В общем случае точки контакта не удовлетворяют указанному условию, а величина смещения центра средней окружности нелинейно зависит от амплитуды гармоники.

Установлено, что при использовании одной призмы с постоянными углом раскрытия и угловым положением датчика нельзя обеспечить коэффициент воспроизведения для отдельных гармоник не только близкий к единице, но и примерно постоянный для первых 20 гармоник. Исследования показали, что принцип суперпозиций при моделировании бесцентрового измерения не соблюдается. Поэтому рекомендации по настройке прибора, полученные при анализе отдельных гармоник, не позволяют эффективно минимизировать погрешность измерения в реальных производственных условиях.

Для контроля партии колец подшипников диаметром 30 мм на ОАО «Саратовский подшипниковый завод» проведена оптимальна наладка прибора для бесцентрового измерения на основе метода статистического моделирования Монте-Карло и получены оценки относительной погрешности измерения. Исходными данными являлись результаты предварительного измерени на кругло- мере Talyrond 73. Установлено, что амплитуды гармоник распределены по закону Пирсона первого типа, а начальные фазы — по закону равных вероятностей. Между некоторыми гармониками имеютс значимые коррел ционные св зи. Дл статистического моделировани использована методика, изложенная в работе [6]. Результаты статистической обработки данных моделирова- ни при измерении партии из 200 заготовок на призме с углом в = 60 и 90° при трёх положениях датчика а = 0; 15 и 45° представлены на рис. 3. Исследования показали, что относительная погрешность измерени описываетс нормальным или логнормальным законами с двум параметрами — математическим ожиданием m и среднеквадратическим отклонением а. Логнормальный закон получается при учёте корреляции между амплитудами отдельных гармоник.

на23
Рис. 3. Погрешность измерения отклонения от круглости:
а = 60° (1); а = 90° (2)

Анализ рис. 3 показал, что минимальная погрешность измерения соответствует углу призмы а = 90° и нулевому положению датчика. Среднеарифметическое относительной погрешности составило m = 30,9 %, а среднеквадратическое отклонение а = 22,6 %. Таким образом, по сравнению с вариантом при а = 60° и в = 15° примерно в 2 раза уменьшилось среднеарифметическое относительной погрешности измерения , хот при этом среднеквадратическое отклонение не будет минимальным.

Проведённые исследования позволяют сделать вывод, что оптимальна наладка призм с датчиками малых линейных перемещений в некоторых случаях существенно уменьшает методическую погрешность измерения. Предварительный анализ гармонического состава погрешностей формы на основе эталонного измерения на прецизионном кругломере и статистическое моделирование по разработанной модели позволяют интервально оценить погрешность измерения. Использование изложенного подхода рационально в массовом производстве при контроле больших партий деталей в цеховых условиях.

Библиографические ссылки

1. Авдулов А.Н. Контроль и оценка круглости деталей машин. М.: Изд-во стандартов, 1974. 176 с.

2. Палей М.А., Чудов В.А. О возможностях седлообразных приборов при контроле диаметров и отклонений формы // Измерительная техника. 1972. № 4. С. 20—21.

3. Гебель И.Д. Бесцентровое измерение формы профиля тел вращения // Измерительная техника. 1973. № 3. С. 24—27.

4. Захаров О.В., Погораздов В.В., Кочетков А.В.
Методические основы гармонического анализа кругло- грамм // Метрология. 2004. № 6. С. 3—10.

5. Бржозовский Б.М., Захаров О.В., Горшков В.В. Математическая модель бесцентрового измерения от- клонени от круглости // Математические методы в технике и технологиях: Сб. тр. Междунар. науч. конф. Саратов: СГТУ, 2008. Т.4. С. 141—143.

6. Лабутин С.А., Пугин М.В. Суммирование случайных погрешностей измерений и анализ погрешностей косвенных измерений методом Монте-Карло // Измерительная техника. 2000. № 11. С. 6—9.

________________

Б.М. Бржозовский, д-р техн. наук, проф., О.В. Захаров, канд. техн. наук, доц.
(Саратовский государственный технический университет)

Ключевые слова: отклонение от круглости, бесцентровое измерение, погрешность измерения .

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.

*

code